仿射子空间

仿射子空间是一个被平移离开原点的子空间。取一个真正的子空间 U，把它按固定向量 p 平移，得到集合 A = p + U = {p + u : u 属于 U}。不过原点的直线与平面是日常的例子。仿射子空间拥有子空间一切平直、平行的形状，却放弃了含 0 的要求——它恰是 U 的一个陪集的几何视角。

其界定性的代数性质是对仿射组合而非线性组合封闭：若 x 与 y 在 A 中，则对每个标量 t，t*x + (1-t)*y 也在 A 中（更一般地，任何系数之和为 1 的组合皆然）。“系数之和为 1”这一约束让你留在平面块上而不把它锚定于原点。去掉该约束你便回到普通子空间；把 t 收紧到落在 [0, 1] 你便得到一个凸集——仿射概念恰处于二者之间。

标志性的现身是非齐次线性方程组 A*x = b 的解集。当 b 非零时此集合不是子空间（它漏掉 0），但它确是一个仿射子空间：x_p + null(A)，一个特解加上齐次核。这正是为何每个相容线性方程组的解集都呈被平移的核之形的结构性缘由——一个与 null(A) 平行、被任一特解偏移的平面块。

干净的要点是这份分工：子空间关乎过原点的方向，仿射子空间关乎空间中任意位置的定位平面块。“方向子空间”U 可由 A 唯一恢复为差集 A - A = {x - y : x, y 属于 A}，但偏移 p 只在相差一个 U 中向量的意义下被确定。仿射几何正是当你保留线性结构却忘记原点在哪里时所得到的。