商空间

商空间 V/U 是当你决定不再区分相差一个 U 中元素的向量时所得到的东西。选定一个要“忽略”的子空间 U；然后规定：只要两个向量之差落在 U 中，就宣布它们相等。由此被认同的向量团块就是 V/U 的元素。粗略地说，你把整个 U 压缩成一个点——新的零——而 V/U 只记录在那次压缩中幸存的信息。

V/U 的每个元素是一个陪集 v + U = {v + u : u 属于 U}，即从 v 出发在 U 内滑动所能到达的全体向量之集。陪集上的加法与缩放以显然方式定义——(v + U) + (w + U) = (v + w) + U 且 a*(v + U) = (a*v) + U——奇迹在于它们良定义：答案不依赖你从陪集中抓取哪个代表元 v。配上这些运算，V/U 本身就是一个真正的向量空间。

维数的记账既干净又好记：dim(V/U) = dim V - dim U。压缩一个 d 维子空间恰好移除 d 个维数。若 V 是 R^3 而 U 是过原点的一个平面，则 V/U 是一维的——它只记录“我在哪个平行平面上”，而抛弃了每个平面内的一切运动。商保留横截于 U 的方向，遗忘其余。

为何用商而不直接选一个补？因为商是典范的——它无需任何选择——而补是无穷多个中的一个。V/U 与 U 的任何补同构，但它不偏袒其中之一，这使它成为给出干净定理的正确工具。第一同构定理 V/ker(T) 同构于 im(T)，正是商发挥价值之处：它把秩-零化度定理从维数计数变为结构性陈述。