凸多邊形與凹多邊形

想像用一條橡皮筋套住一個形狀。如果橡皮筋處處貼合圖形——碰到每個角且沒有凹陷——這個多邊形就是凸的，例如三角形、正方形或正六邊形。如果橡皮筋越過某個缺口而留下空隙，圖形就有一處向內凹的「洞」，它是凹的（又稱非凸），例如五角星的輪廓或箭頭形。

兩個等價的精確判準把它釘死。判準一：當圖形內任兩點之間整段直線段都落在圖形內時，多邊形為凸；在凹多邊形中，你能找到兩個內部點，連接它們的線段會穿出圖形之外。判準二，看角：多邊形為凸，恰當每個內角都小於 180 度。凹多邊形至少有一個優角（反角）內角——大於 180 度的角——那個優角就是「凹陷」處。第三個方便的判準：把凸多邊形的任一邊延長成整條直線，整個多邊形都落在這條線的同一側；凹多邊形則存在某條這樣的直線會切過其內部。

凸性的重要性遠超過命名。許多漂亮的定理——內角和公式 (n-2)·180、外角和為 360 度、多邊形具有性質良好的內切圓或外接圓——對凸多邊形敘述起來最為簡潔，對凹多邊形則有些會失效或需要小心處理。要記住的提醒是：「凹」不等於「不規則」，「凸」也不等於「正」。L 形磚塊是凹的，但它的直角看起來十分規整；一個歪斜不對稱的四邊形可以是凸的，卻完全沒有相等的邊。