對角線

在任何至少有四個角的多邊形裡，你都可以從一個角直接畫一條捷徑，跨到一個不相鄰的角。這條跨接線就是對角線。長方形大門上的兩根斜撐，或棒球場上從本壘到二壘的連線，都是對角線——它們跳過邊，連到不相鄰的頂點。

精確地說，多邊形的對角線是連接兩個不被邊相連的頂點（即兩個不相鄰頂點）的線段。三角形沒有對角線，因為它三個頂點中每一對都已經被邊相連。n 邊形的對角線數目為 n(n-3)/2：每個頂點可連到另外 n-3 個頂點（除了自身及其兩個鄰點），給出 n(n-3) 個端點，再除以 2 以避免從兩端各數一次同一條對角線。所以四邊形有 4·1/2 = 2 條對角線，五邊形有 5·2/2 = 5 條，六邊形有 6·3/2 = 9 條。

對角線是平面幾何的主力工具。從凸 n 邊形的某一個頂點畫出所有對角線，會把它切成 n-2 個三角形——這正是證明內角和為 (n-2)·180 度的那張圖。在四邊形家族中，對角線的行為是辨識的關鍵特徵：平行四邊形的對角線互相平分，矩形的對角線相等，菱形的對角線互相垂直，鳶形的對角線互相垂直且其中一條平分另一條。對凹多邊形要小心：連接兩個不相鄰頂點的「對角線」可能跑到圖形外，所以「對角線」既不保證線段留在內部，也不保證它完全落在內部之內。