凸集（convex set）
用橡皮筋圈住一個形狀，看看這形狀有沒有任何凹陷。圓盤、實心三角形、實心球、板塊——這些都沒有凹陷：任取內部兩點，連接它們的直線段都完全留在內部。彎月或星形「確實」有凹陷：它兩點之間的線段可能戳到外面去。沒有凹陷的形狀正是凸集，而這單一性質是整個應用數學中最有用的之一。
定義短得令人意外。一個集合 C 是凸的，若對 C 中每一對點 P 與 Q，整條線段 PQ 都落在 C 內。等價地說，每個形如 (1 - t) 乘 P 加 t 乘 Q（t 從 0 跑到 1）的點都必須屬於 C；這個式子無非掃出從 P（t = 0 時）到 Q（t = 1 時）的線段。這就是定義的全部——不需要微積分，不需要平滑性。它在平面、在空間、在任意維數中都完全一樣地適用。直線、半平面、圓盤、球、立方體，以及任何線性不等式組的解，全都是凸的；凸集的交集仍是凸的（一個極為好用的事實），不過它們的聯集通常不是。
凸性之所以重要，是因為它是讓最佳化變得可解的條件：當你在一個凸集上極小化一個凸函數時，任何局部極小值都自動是整體極小值，所以你可以信任一個下坡式的搜尋去找到真正的最佳解。這是現代最佳化、經濟學、機器學習與作業研究的支柱。一個常見的失誤是把「凸」與「像透鏡那樣向外彎」混為一談。正方形儘管全是平直的邊與尖銳的角，它仍是凸的；凸性講的是沒有凹陷，而非是否圓潤——而一彎完全平滑的新月儘管曲線優雅，卻「不」是凸的。
L 形區域（一個大正方形挖掉一角的小正方形）是凸的嗎？取下臂中一點 P 與上臂中一點 Q。直線段 PQ 橫越被挖掉的那一角——它離開了區域。所以 L 形不是凸的。現在取一個完整的矩形：內部任兩點之間的線段都留在內部，所以矩形是凸的，連角帶邊都算。
只要有一條線段逃出去，就足以使一個集合喪失資格；凸性要求每一條線段都留在內部。
凸的意思是沒有凹陷，而非「平滑」或「圓潤」。帶尖角的多邊形可以是凸的（三角形就是），而平滑彎曲的形狀也可能不是凸的（新月就不是）；判準純粹關於線段，從不關於曲率。