赫利定理（Helly's theorem）

假設你在平面上有一大堆凸形狀，想知道是否存在單一個它們「全部」都包含的點——一個落在每一個形狀內部的位置。一次檢查全部聽起來很難。赫利定理給出一個驚人的承諾：在平面上你只需要每次檢查三個。若這些形狀中每三個一組都共有一個點，那麼自動地，它們全部都共有一個點。少數幾個小檢驗就認證了一個整體的結論。

精確的敘述：取 d 維空間中一族有限的凸集。若其中每 d + 1 個都有共同點，那麼整族都有共同點。在平面中 d = 2，所以神奇的數字是 d + 1 = 3——每三個相交就迫使整堆相交。在直線上（d = 1）這個數字是 2：一族區間只要每一對都重疊，便全部重疊。凸性的前提發揮著關鍵作用，不能捨棄：對非凸集，定理乾脆失效。平面上的證明立基於拉東定理，即任何 d + 2 個點都能分成兩組、其凸包重疊——一顆俐落的組合種子，赫利的結果由此長成。

赫利定理開創了整個組合凸性的領域，並出現在任何你必須協調眾多約束之處——在最佳化中（一個凸約束系統何時聯合可行？）、在計算幾何中、在橫貫與穿刺問題中，乃至投票與公平分配的問題中。誠實的提醒有兩點。第一，界限 d + 1 是緊的：在平面上，只檢查成對的「不」夠——你能找到三個兩兩重疊卻無共同點的凸集（想想三條像三角形三邊那樣排列的長條）。第二，基本定理需要「有限」多個集合（或額外的緊緻性假設）才穩妥；面對無窮多個集合，你必須加上閉且有界的條件，否則結論可能滲漏掉。