曲線的交點（intersection of curves）

兩條曲線在哪裡相交？一點在某曲線上恰當它的座標滿足該曲線的方程式，故一點同時在兩條曲線上恰當它的座標同時滿足兩條方程式。因此求交點與「同時求解一組方程式」是同一件事——「相交」的幾何就是「一起解」的代數。

標準方法是代入法：把一條方程式對某個變數解出，代入另一條，把兩條 x 與 y 的方程式化為一條單變數方程式，再解之。實解的個數就是交點的個數。對兩條直線，這導向一解（相交一次）、無解（平行）或無窮多解（同一條線兩次）。對一線一圓，代入產生一個二次式，其兩個、一個或零個實根分別代表線是割線（穿過圓）、切線（恰相切）或相離（無接觸）——與你在幾何上所見相符。

這是解析幾何最實用的威力之一：任何「這些形狀相遇嗎、在哪裡？」的問題都化為例行的代數。兩個誠實的提醒。其一，仔細數解的個數——重根（二重根）代表相切，一個接觸點，而非兩個分開的交點。其二，當你在過程中為去掉根號而平方一條方程式時，可能製造出解了平方後系統卻不解原系統的多餘解；務必把候選點代回兩條原方程式以確認。