解析（座標）幾何
點到直線的距離（distance from a point to a line）
一個點離一條線多遠？從點走到線有無窮多種走法，但只有最短的那條才算「距離」，而那最短路徑永遠是垂直落到線上的垂線。想像一隻狗到一道長直柵欄的最短牽繩：它與柵欄成直角。
若直線寫成一般式 A x + B y + C = 0，點為 P_0 = (x_0, y_0)，則垂直距離為 d = |A x_0 + B y_0 + C| / sqrt(A^2 + B^2)。用簡單步驟說明這配方：取該點座標，代入左式 A x + B y + C（對線上的點為零，線外則非零），取絕對值（距離絕不為負），再除以 sqrt(A^2 + B^2) 以正確地縮放。例如，(4, 3) 到線 3x + 4y - 5 = 0 的距離為 |3*4 + 4*3 - 5| / sqrt(9 + 16) = |19| / 5 = 19/5 = 3.8。
這條公式是一連串事實背後的引擎：圓恰好與線相切所需的半徑（相切）、兩平行線之間帶狀區域的寬度、以及一旦各邊化為方程式後三角形的高。絕對值很重要：它捨棄了點在線哪一側，只保留間隙的大小。若你也想知道在哪一側，取絕對值之前 A x_0 + B y_0 + C 的正負號會告訴你該點落在哪個半平面。
線 3x + 4y - 5 = 0 與圓心 (4, 3)、半徑 2 的圓是相交、相切還是相離？圓心到線的距離為 19/5 = 3.8，大於半徑 2，故線與圓完全相離——無交點。
比較圓心到線距離與半徑：大於即相離，等於即相切，小於即兩交點。
用公式前先把直線寫成一般式 A x + B y + C = 0，並除以 sqrt(A^2 + B^2)，不是除以 A + B。分子的絕對值不可少——少了它會得到無意義的負「距離」。
又称
另见