因果格林函數（causal Green's function）

對隨時間演化的問題，有一條不可商量的物理規則：結果不能早於它的原因。若你在時刻 s 敲擊系統，關於那一擊的任何效應，都不可能在更早的任何時刻被感受到。因果格林函數就是把這條規則內建進去的含時點源回應——在源作用之前它恆為零，只把系統的回答往時間的前方帶。

用 G(t, s)（暫時略去空間）表示在時刻 t 對「於時刻 s 施加的單位脈衝」的回應。因果性要求 G(t, s) = 0 當 t < s——踢之前沒有回應。定義性質是 L_t G(t, s) = delta(t - s) 加上這個「t < s 時為零」，它在數學上合法的解之中挑出延遲格林函數（另一個是超前的，在反向的 t > s 有支集，那會讓未來影響過去）。回報是一個按時間疊加的乾淨解：對開啟的驅動 f(t)，u(t) = integral from -infinity to t of G(t, s) f(s) ds——注意上限是 t，這是因果性的標誌：只有過去的源有貢獻。對 PDE 這變成時空傳播子，例如波動方程的延遲基本解，把一閃沿著光錐向外散開。

為何它是物理上正確的選擇：在電磁學裡它給出延遲位勢（場由過去而非未來的電荷運動決定）；在訊號處理裡它是可實現濾波器的脈衝回應；在量子場論裡延遲與費曼傳播子編碼了時間上不同的邊界條件。誠實的重點是：數學同等地容許超前解——方程本身並不知道時間之箭——所以因果性是你額外施加的條件，由物理驅動，而非從微分方程推導而來。又因為因果格林函數不是時間對稱的，它不滿足普通的互易性；取而代之的是該算子的 G 與其時間反演伴隨算子的 G 之間有一個關係。