杜阿梅原理作為格林函數陳述（Duhamel's principle as a Green's-function statement）
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假設一個沒有外部驅動的系統，已經有一套已知的、從任意初始狀態演化的方式——你會解齊次問題。現在打開一個持續推動的連續源。杜阿梅原理說你不需要新方法：把持續的源當成一條不間斷的微小瞬間踢擊之流，讓每一下踢擊從它被施加的那一刻起自由地向前演化，再把它們的貢獻全部加起來。這就是點源想法在時間方向上的面貌——時間方向的格林函數。
具體地說，對非齊次演化方程 u_t = L u + f(t)、初始資料為零，杜阿梅公式是 u(t) = integral from 0 to t of S(t - s) f(s) ds，其中 S(tau) 是齊次方程跑時間 tau 的解算子（傳播子）。用平白步驟讀這食譜：在時刻 s 的小區間內送進的源 f(s) ds，作用得像一個在時刻 s 開啟的初始條件；從此它在齊次流之下對剩下的時間 t - s 自由演化，貢獻 S(t - s) f(s)；對所有點火時刻 s 從 0 到 t 積分，就得到完整的受驅解。核 S(t - s) 正是時間方向的因果格林函數——它在 s > t 時為零，編碼了「只有過去的源有影響」。對熱方程，S(t - s) 的作用是與熱核做卷積；對波動方程，它透過波傳播子作用。這就是 ODE 中參數變異法（variation of parameters）在 PDE 上的推廣。
為何有威力：它把每個非齊次（受驅）線性演化問題化約到你已經解過的齊次問題，把容易的部分（自由演化）與記帳（對時間積分源）分開。它支撐了演化方程的弱解（mild solution）與半群理論，其中 S(t) 是 L 生成的 C0 半群。誠實的範圍：杜阿梅原理是一個線性陳述——它依賴源的瞬間回應之疊加——所以適用於線性方程；非線性驅動會打破乾淨的疊加（不過杜阿梅型積分方程對非線性問題仍是關鍵的不動點工具，要靠迭代）。它也假設齊次流 S 良好定義且適定，而例如對倒向熱方程，這就不成立。
對受熱的棒 u_t = k u_xx + f(x, t)、初始溫度為零，杜阿梅給出 u(x, t) = integral from 0 to t of [ integral of K(x - y, t - s) f(y, s) dy ] ds，其中 K 是熱核：每一瞬間注入的熱，對剩下的時間 t - s 自由擴散。
每一瞬間的源都成為一個自由演化的初始條件。
杜阿梅依賴疊加，所以是線性方程的原理；非線性驅動會打破乾淨的求和（不過杜阿梅型積分方程對非線性問題仍是關鍵的不動點工具），而且它預設齊次流是適定的——例如倒向熱方程就不是。