熱方程的杜阿梅原理（Duhamel's principle for the heat equation）
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到目前為止熱方程都沒有內部熱源——只有一個散開的初始分布。但若棒子內部開了一個加熱器，隨時間持續加入熱量呢？杜阿梅原理就是那個優雅的帳目技巧，它把「有源」的解，從「無源」的解組裝出來，方法是把源視為一連串微小的瞬間脈衝。
考慮非齊次熱方程 u_t = k u_xx + f(x,t)，其中 f 是源（單位時間加入的熱量），為求乾淨令初始資料為零。杜阿梅的想法：在時間 s 附近一個短暫間隔內注入的熱，就像在時間 s 開啟的一個全新初始條件 f(x,s) ds，它接著依無源方程，在剩下的時間 t - s 裡自行擴散。由線性，把所有這些貢獻疊加。若 S(t) 表示在齊次熱方程下把初始資料向前演化時間 t 的算子（與熱核卷積），則 u(x,t) = integral from 0 to t of S(t - s) f(x,s) ds。用平實的步驟說：在每個瞬間 s 把源凍結，讓那個凍結的脈衝擴散剩餘時間 t - s，再對所有 s 從 0 到 t 加總。這就是你在 ODE 學過的參數變異公式的 PDE 版本。
杜阿梅原理是一匹工作馬：它把受迫問題化簡為反覆使用你已經懂的無迫求解器，並清楚顯示對源的回應，就是源在時間上與系統脈衝回應（熱核）的卷積。它與格林函數密切相關——熱方程的因果格林函數，正是杜阿梅公式所積分的那個核。提醒：上述杜阿梅處理的是「初始資料為零的源項」；完整的解再疊加上單獨演化的初始條件（由疊加）。而它依賴線性——對非線性源，簡單的疊加失效，你需要其他方法。
一根帶穩定內部加熱器 f(x) 的棒：把每個切片 [s, s+ds] 內加入的熱當作初始脈衝 f(x) ds，讓它擴散時間 t - s，再從 0 到 t 積分，得到完整的受迫解。
源＝脈衝串流；每個脈衝在它剩餘的時間裡擴散。
杜阿梅只處理源項，且初始資料為零；再用疊加加上自由演化的初始條件。它之所以奏效完全靠方程是線性的——對非線性源這個原理就失效。