布羅姆維奇反演圍道（Bromwich inversion contour）
/ BROM-witch /
當你取拉普拉斯轉換時，你把一個時間的函數 f(t) 換成一個複頻率的函數 F(s)——一個常常遠更易於操作的單向摘要。布羅姆維奇圍道是回程的路。它是複 s 平面中那條特定的路徑，你沿著它對 F(s) 積分以還原出原本的 f(t)。沒有它，拉普拉斯轉換就會是一扇你能掉進去卻永遠爬不出來的活門。
具體地，反拉普拉斯轉換是 f(t) = (1 / (2 pi i)) 乘（沿布羅姆維奇圍道對 e^(s t) F(s) ds 的積分），其中圍道是垂直線 s = c + i y，y 從負無窮跑到正無窮，而 c 取得使整條線都落在 F(s) 的每個奇點的右側。那條垂直線就是布羅姆維奇圍道。實務上你幾乎從不直接對這條直線積分；而是用左側一個大半圓把它封閉、再用留數定理，於是答案成為 e^(s t) F(s) 在 F 的極點處留數之和——而約當引理保證大圓弧在半徑增大時（對 t > 0）毫無貢獻。
這條圍道把信號分析與微分方程直接繫到留數計算。F(s) 的每個極點都成為 f(t) 中的一個指數模態 e^(s_k t)：左半平面的極點給出衰減模態、虛軸上的極點給出穩定振盪、而右半平面的極點給出爆炸——這恰恰是極點的幾何如何編碼穩定性。誠實的微妙處：常數 c 必須勝過最右側的奇點（其實部即收斂橫坐標），而若 F 有分支點而非極點，你便不能直接封閉圍道——你必須改為繞著一條支割線纏繞它，這會產生連續譜而非離散模態。
要反演 F(s) = 1 / (s^2 + omega^2)，把布羅姆維奇線置於極點 s = 正負 i omega 的右側。向左封閉並對 e^(s t) / (s^2 + omega^2) 在那兩個極點求留數之和，得 f(t) = (1/omega) sin(omega t)（對 t > 0）——位於虛軸的共軛極點對產生純振盪，正如極點幾何所預言。
一條位於所有極點右側的垂直線，向左封閉；留數給出時間函數。
對 t < 0 你必須改向右封閉圍道，在那裡（若 F 在該處解析）你不圍住任何極點，得 f(t) = 0——這正確反映了拉普拉斯轉換重建的是一個因果的、單側的信號。