收斂橫坐標
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狄利克雷級數 sum a_n / n^s 究竟在哪裡收斂？答案有一個美妙簡單的形狀：存在單一實數 sigma_0，稱為收斂橫坐標，它在 s 的實部上扮演門檻。對每個 Re s > sigma_0 的 s 級數收斂，對每個 Re s < sigma_0 的 s 它發散。所以收斂區域永遠是一個右半平面，左邊由垂直線 Re s = sigma_0 界定。「橫坐標」一詞只是指那條邊界線的水平座標。
這是冪級數收斂半徑的精確對應物——但幾何從圓盤變成了半平面。對冪級數 sum a_n z^n，邊界是圓 |z| = R；對狄利克雷級數，邊界是垂直線 Re s = sigma_0。正如半徑可以是 0（處處不收斂）或無窮（處處收斂），橫坐標可以是 +infinity（級數從不收斂）、-infinity（在整個複平面收斂），或介於兩者間的任何有限值。在邊界線本身上，什麼都可能發生——收斂、發散或混合——沒有通則能裁決它。還有一個伴隨門檻，「絕對」收斂橫坐標 sigma_a，滿足 sigma_0 <= sigma_a <= sigma_0 + 1；這個寬度至多 1 的間隙是狄利克雷級數獨有的現象，沒有冪級數的對應物。
它為何重要？橫坐標告訴你級數本身在任何解析延拓之前自然有意義的定義域。對 zeta 橫坐標是 1（級數對 Re s > 1 收斂），而 zeta 的全部戲碼——s = 1 處的極點、臨界帶中的零點、函數方程——都發生在「越過」那個橫坐標、延拓進級數無法抵達的區域之後。一個常見的混淆：收斂橫坐標講的是「級數」，而非函數。zeta(s) 在 Re s = 1 左側很遠處仍有定義且有趣，儘管它的定義級數在那裡發散；橫坐標只標出字面上的和在何處停止運作。
對 zeta，即 sum 1/n^s，收斂橫坐標為 sigma_0 = 1：它對 Re s > 1 收斂，在 s = 1 處發散（調和級數）。對交錯的 eta 級數 sum (-1)^(n-1)/n^s 橫坐標為 0，因為抵消買到了額外一單位的收斂。對係數部分和有界的級數，譬如非主特徵的 sum chi(n)/n^s，橫坐標可以左移到 0。
收斂的邊界是一條垂直線 Re s = sigma_0，是冪級數半徑為 R 的圓在半平面情形的對應物。
級數在橫坐標之外不收斂，並不等於函數在那之外無定義。解析延拓能把函數延伸到遠遠超過 Re s = sigma_0 之處，儘管字面上的級數在那裡發散——zeta 就是頭號例子。