狄利克雷級數
/ deer-ish-LAY or DEER-ish-lay /
狄利克雷級數是ζ函數定義式之和的自然推廣。它的形狀是 sum over n >= 1 of a_n / n^s，其中 a_n 是給定的複係數，s 是複變數。取所有 a_n = 1 就還原出 zeta(s)。換成別的係數——譬如 a_n = (-1)^(n-1)，或某個積性算術函數的值，或某個狄利克雷特徵的值——你就得到一整族把算術資訊以解析形式打包的函數。冪級數 sum a_n z^n 由積木 z^n 搭成，而狄利克雷級數則由積木 1/n^s = n^(-s) 搭成。
關鍵特徵是收斂的幾何。冪級數在一個「圓盤」內收斂；狄利克雷級數則在一個「半平面」內收斂。存在一個實數 sigma_0，即收斂橫坐標，使得級數對每個 Re s > sigma_0 的 s 收斂、對 Re s < sigma_0 發散。在分界垂直線 Re s = sigma_0 上行為微妙。在收斂區域內級數定義出一個全純函數，且收斂在緊子集上一致，故可逐項微分：導數為 sum of -a_n (log n) / n^s。這個半平面圖像是冪級數收斂半徑故事的狄利克雷級數對應物。
狄利克雷級數是解析數論的語言。把一個算術數列 a_n 編碼成狄利克雷級數，會把關於 a_n 的平均或分布的問題，變成關於所得函數解析行為（極點、零點、增長）的問題——而複分析隨即回答它們。當 a_n 是積性時，歐拉乘積會像對 zeta 那樣把級數對質數作因式分解。一個值得說明的提醒：與冪級數不同，狄利克雷級數的「絕對」收斂半平面可以比普通收斂半平面更大；兩個橫坐標可以不同（至多差 1），所以在這裡「收斂」與「絕對收斂」是真正不同的門檻。
交錯級數 sum (-1)^(n-1) / n^s = 1 - 1/2^s + 1/3^s - ... 是狄利克雷 eta 函數，它對 Re s > 0 收斂（其收斂橫坐標為 0），是比 zeta 的級數嚴格更大的區域。它與 zeta 的關係是 eta(s) = (1 - 2^(1-s)) zeta(s)，這是把 zeta 延拓進帶 0 < Re s < 1 的一個俐落辦法。
相同的 n^(-s) 骨架、不同的係數：取 a_n = (-1)^(n-1) 把收斂半平面拓寬到 Re s > 0。
狄利克雷級數在半平面（而非圓盤）內收斂——冪級數收斂半徑的對應物是收斂橫坐標。也別假設收斂等於絕對收斂：兩個橫坐標可相差至多 1。