狄利克雷 L 函數
/ deer-ish-LAY /
狄利克雷 L 函數是ζ函數的近親，是為研究質數而造的——不是研究所有整數中的質數，而是某個算術級數中的質數，譬如 4k+1 形或 7k+3 形的質數，依此類推。挑選級數的成分是一個模 q 的狄利克雷特徵 chi：一個定義在整數上的函數，以 q 為週期、完全積性（chi(mn) = chi(m) chi(n)）、且在與 q 有公因子的整數上為零。把它餵進狄利克雷級數得到 L(s, chi) = sum over n >= 1 of chi(n) / n^s。當 chi 是平凡（全為一、模 1）特徵時，你還原出 zeta 本身，所以 L 函數是一族函數，以 zeta 為最簡單的成員。
兩個類 zeta 的特徵承襲下來並挑起重擔。第一，由於 chi 是積性的，L(s, chi) 有對質數的歐拉乘積 product over p of 1/(1 - chi(p) p^(-s))，所以它也逐個因子地編碼質數資訊。第二，每個 L(s, chi) 都解析延拓到整個複平面，並滿足自己的、把 s 與 1 - s 關聯的函數方程（經由伽瑪因子與一個叫高斯和的量）。對非主特徵，延拓甚至是整的——根本沒有極點——這比 zeta 多了一個關鍵的技術優勢。
發明它們的理由是本領域的瑰寶之一：狄利克雷關於算術級數中質數的定理。只要 a 與 q 沒有公因子，級數 a, a+q, a+2q, ... 就包含無窮多個質數。證明的關鍵在於證明對每個模 q 的非主特徵 chi，L(1, chi) 皆不為零——這正是那種非零陳述，對 zeta 在線 Re s = 1 上來說，就給出質數定理。廣義黎曼猜想是這樣的猜測：每個狄利克雷 L 函數都像 zeta 一樣，其全部非平凡零點落在線 Re s = 1/2 上。一個提醒：對「複」特徵證明 L(1, chi) 不為零是容易的，但對「實」（二次）特徵則確實微妙——那單一個非零正是狄利克雷論證的核心。
最簡單的非平凡例子是模 4 的特徵：當 n = 1 mod 4 時 chi(n) = 1，當 n = 3 mod 4 時 chi(n) = -1，當 n 為偶數時 chi(n) = 0。則 L(s, chi) = 1 - 1/3^s + 1/5^s - 1/7^s + ...，在 s = 1 處這是萊布尼茲級數 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ... = pi/4。由於 L(1, chi) = pi/4 不為零，狄利克雷定理給出 4k+1 與 4k+3 兩種形式各有無窮多個質數。
L 函數就是插入了一個特徵的 zeta；它在 s = 1 處不為零，驅動了狄利克雷關於級數中質數的定理。
對主特徵，L(s, chi) 本質上是 zeta，並承襲它在 s = 1 處的極點；對非主特徵，L(s, chi) 是整的（無極點）。狄利克雷定理的全部力量建立在較難的事實 L(1, chi) 不為零上，而這恰恰對實特徵才微妙。