黎曼猜想
/ REE-mahn /
黎曼猜想是數學中最著名的未解問題。盡可能簡短地陳述：黎曼ζ函數的每個非平凡零點，實部恰為 1/2。也就是說，除了已被透徹理解、位於 s = -2, -4, -6, ... 的平凡零點外，每個使 zeta(s) = 0 的地方都精確地落在臨界線 Re s = 1/2 上。黎曼在他 1859 年的論文中猜測了它，而儘管歷經一個半世紀的努力與壓倒性的數值證據，至今無人能證明或推翻它。
為何有人會相信如此精確的論斷，又為何要在意它？因為 zeta 經由它的歐拉乘積編碼了質數，而它零點的「位置」直接轉譯成質數的規律性。有一條明確公式，把質數計數函數表示為一個「主項」加上一串振盪貢獻之和，每個非平凡零點貢獻一項，而位於 s = beta + i gamma 的零點貢獻的誤差大小約為 x^beta。若所有 beta = 1/2，則每一誤差項都小到不能再小——此時質數的分布如質數定理所允許的那般均勻。從這個意義上說，黎曼猜想斷言質數之間沒有隱藏的陰謀，沒有零點潛伏在線外製造意外的聚集。
證據驚人——已計算的頭數兆個零點全都精確落在線上，已證明有正比例落在其上，且無數定理是「在假設 RH 之下」得知的。但證據不是證明，而數論的歷史充滿了在天文尺度上成立、最終才失效的模式。要誠實面對現狀：RH 仍未解。它是七個克雷千禧年大獎問題之一，可推廣到一大片 L 函數之網（廣義黎曼猜想），而一個證明或反證將重塑解析數論。任何聲稱有初等證明的人，都應以深刻的懷疑相待。
若 RH 成立，質數計數函數 pi(x)（不超過 x 的質數個數）滿足 pi(x) = Li(x) + O(sqrt(x) log x)，這是一個本質上最優的誤差界。沒有 RH，最佳的無條件誤差遠為寬鬆。單單一個離線的零點，譬如實部 0.6，就會把誤差膨脹到約 x^0.6——質數稀疏化的方式會有明顯更大的起伏。
RH 恰恰是「質數計數誤差盡可能小」這個論斷——每個非平凡零點都在線 Re s = 1/2 上。
RH 尚未證明。把「假設黎曼猜想」當成一個假設、而非事實；許多已發表的定理都以它為條件。對數兆個零點的數值驗證是強有力的證據，但邏輯上對尚未檢查的無窮多零點什麼也沒證明。