ζ函數的函數方程
ζ函數藏著一個深刻的對稱，把點 s 與它關於直線 Re s = 1/2 的鏡像 1 - s 互換。黎曼的函數方程把這件事說精確。在它的對稱形式中，定義完備化的 zeta：xi(s) = pi^(-s/2) Gamma(s/2) zeta(s)；則 xi(s) = xi(1 - s)。因子 pi^(-s/2) Gamma(s/2) 正是讓方程乾淨的伽瑪「修正因子」（無窮遠處的局部因子）。在它的非對稱形式中則讀作 zeta(s) = 2^s pi^(s-1) sin(pi s/2) Gamma(1 - s) zeta(1 - s)。
這樣的對稱從何而來？黎曼的證明經由一個西塔函數 theta(t) = sum over n of e^(-pi n^2 t)，它滿足自己美麗的變換 theta(1/t) = sqrt(t) theta(t)（一個模關係）。把 theta 餵進一個梅林（伽瑪型）積分，產生完備化的 zeta：xi(s)，而西塔變換 t -> 1/t 正好變成反射 s -> 1 - s。所以 zeta 的 s 到 (1-s) 對稱，是某個西塔函數 t 到 (1/t) 對稱的解析影子——分析學的特殊函數把數論與格的幾何綁在一起。
函數方程做的是實活。它從右半平面的值立刻算出 zeta 在左半平面的值：在 s = -2, -4, -6, ... 處的平凡零點之所以出現，是因為 sin(pi s/2) 在那裡消失，而像 zeta(-1) = -1/12 這樣的特殊值也掉了出來。它還使直線 Re s = 1/2 成為對稱軸，這正是該直線「臨界」的原因。一個提醒：那個伽瑪因子不是可有可無的裝飾——少了 pi^(-s/2) Gamma(s/2)，對稱就不是 s <-> 1-s，而那個伽瑪因子的極點，正是與 zeta 的極點和平凡零點合謀、使 xi(s) 保持整（除兩個單極點外）的關鍵。
用非對稱形式求 zeta(-2)。取 s = -2：zeta(-2) = 2^(-2) pi^(-3) sin(-pi) Gamma(3) zeta(3)。因子 sin(-pi) = 0，故 zeta(-2) = 0——一個平凡零點。sin(pi s/2) 在每個負偶整數處同樣消失，產生 s = -2, -4, -6, ... 處的全部平凡零點。
完備化的 zeta：xi(s) = pi^(-s/2)Gamma(s/2)zeta(s) 是對稱的：xi(s) = xi(1-s)，使 Re s = 1/2 成為對稱軸。
函數方程把 zeta 在 s 與 1 - s 處關聯起來，但本身「並不」定出非平凡零點的位置——它只迫使它們關於 Re s = 1/2 對稱。把它們釘在那條線上是黎曼猜想，而函數方程並不能解決它。