質數定理（prime number theorem）

質數——2, 3, 5, 7, 11, ...——越往高處越稀疏，但並非雜亂無章：它們以一種平滑、可預測的方式變稀。質數定理把這一點精確化。它說：不超過大數 x 的質數個數，記作 pi(x)，約為 x / log x；更銳利地說，在大數 x 附近質數的密度約為 1 / log x。所以在 x 附近大約每 log x 個數就有一個是質數，而 x 越大，質數就越稀少，恰以那個對數速率。

以極限陳述：pi(x) 除以 (x / log x) 在 x -> 無窮時趨於 1，而更佳的近似是對數積分，pi(x) 約等於（從 2 到 x 對 dt / log t 的積分）。令人驚奇的是這個關於整數的計數敘述竟是如何被證明的——用複分析。橋樑是黎曼ζ函數 zeta(s) = sum over n of 1 / n^s，它由歐拉乘積對質數因式分解。取對數導數把對質數的乘積化成對質數的和，而一個圍道積分（梅林-佩龍公式）便把 pi(x)、或它更平滑的近親質數計數權 psi(x)，用 zeta(s) 的零點表達出來。主導項 x 來自 zeta 在 s = 1 處的單極點；zeta 在點 rho 的每個非平凡零點貢獻一個大小為 x^(Re rho) 的振盪修正。只要你知道沒有零點的實部等於 1——即 zeta 在線 Re(s) = 1 上不為零——定理便隨之而來，因為這把所有振盪修正壓到主項之下。

這是解析數論的頭號勝利，也是複分析伸入一個全然不同學科的典範：一個關於整數的事實，由一個解析函數在何處為零、何處不為零所決定。誠實的前沿就在咫尺之外。質數定理中誤差項的大小受 zeta 的零點往左坐得多遠所支配，而黎曼猜想——即每個非平凡零點的實部恰為 1/2 的猜想——將給出最佳可能的誤差界。它至今未獲證明，是數學中最深刻的未解問題之一，所以質數定理已成定論，但它最銳利的形式仍在等待 zeta 的零點。