边界

集合的边界是内外之间那层薄皮：在这些点处，集合与它的补集都任意地拥挤逼近，以致你无法干净地说出自己是在内还是在外。它是归属问题最为微妙的前沿。

严格地说，A 的边界，记作 A 的边界或 partial-A，是这样一些点 x 的集合：围绕 x 的每个开球都同时与 A 及其补集相交。等价地，它是 A 的闭包减去 A 的内部。由对称性，一个集合与它的补集拥有完全相同的边界。

一个集合为闭当且仅当它包含自己的整个边界，为开当且仅当它一点边界都不包含。边界对周围空间和集合本身极为敏感：有理数集 Q 在 R 中的边界是整个 R，因为每个区间都同时含有有理数和无理数，故直线上没有任何一点能与二者中的任一干净地分离。