拍（beats）

把两根吉他弦调到几乎相同的音高，一起拨响，你会听见一个单音在搏动——先响、再轻、又响，每秒数次。这种响度的缓慢脉动就是拍现象，正是当驱动频率接近、但不等于固有频率时受迫振动所产生的。

拍来自两个频率几乎相等的正弦相加。无阻尼受迫振子在接近、但不恰好处于共振时驱动，给出的解是两个余弦之差：cos(omega_1 t) - cos(omega_2 t)，其中 omega_1 与 omega_2 相近。一个三角恒等式把它改写成乘积：2 sin((omega_1 - omega_2)t/2) 乘以 sin((omega_1 + omega_2)t/2)：一个以平均频率的快速振荡，乘以一个以差频之半缓慢变化的包络。那个缓慢的包络就是你听到的“哇—哇”；其频率是两频率之差。

拍是共振的有界表亲——是你恰好偏离共振、而非恰在共振时所得到的。当驱动频率被调得越来越接近固有频率，拍的包络便拉得越来越长，在恰好的极限下包络周期变为无穷、振荡无界增长：拍便化为共振。乐手用拍来凭耳朵调音（调到搏动停止为止）；同样的数学解释了无线电中的调幅以及耦合摆中的缓慢脉动。