一般化

一般化就是从“这件事发生了”跨到“这件事总会发生”的那一步。你注意到 2 + 3 等于 3 + 2，7 + 1 等于 1 + 7，于是不必永远逐对去验证，而是写下 a + b = b + a——一句话就一次性囊括了所有这些情形。用字母替换具体的数，正是代数把无穷多个事实压进一行的办法。

这是代数存在的最深层理由。算术回答“12 × 15 是多少？”；代数回答“对所有这种形状的数，什么是成立的？”通过把具体的值换成变量，你就陈述了一条规则、一个模式或一个公式，其真理性不依赖于任何单个例子。

这里有一种纪律：一个一般化的好坏，取决于它对适用范围是否诚实。规则 a + b = b + a 对所有实数成立，但“可以开平方根”对负数不成立，而“可以做除法”在除数为零时失效。审慎的一般化不仅陈述模式，还陈述模式被保证成立的条件。