z 轉換（z-transform）
數位信號以序列的形式出現：一串每隔一拍取樣一次的數字 x_0, x_1, x_2, ...。z 轉換之於離散序列，正如拉普拉斯轉換之於連續函數——一種把整個序列打包成單一複變數函數的辦法，使延遲與回授這些麻煩事化為普通代數。它是數位濾波器、數位控制與離散時間系統的母語。
定義是一個 1 / z 的冪級數：X(z) = sum over n of x_n z^(-n)。對單側（因果）信號，求和從 n = 0 往上跑，並在複平面上形如 |z| > R 的區域收斂，即收斂域，那是一個圓環或一個圓盤的外部。變數 z 帶有「前進一個取樣」的意義，所以序列延遲一步只是把轉換乘以 z^(-1)——正如微分把拉普拉斯轉換乘以 s。這單一事實把差分方程（微分方程的離散類比）變成多項式比值方程 X(z) = （某物）/ （z 的多項式），你接著用部分分式、讀出已知級數、或用一個圍道積分 x_n = (1 / (2 pi i)) 乘（沿收斂域內一個圓對 X(z) z^(n-1) dz 的積分）以留數之和的形式來反演它。
z 轉換是所有離散信號處理的複分析骨幹。它的極點與零點落在複平面上，而它們相對於單位圓 |z| = 1 的位置決定了一切：單位圓內的極點意味穩定、衰減的響應，圓上或圓外的極點意味振鈴或爆炸。（這是拉普拉斯左半平面穩定性規則的離散鏡像。）一個須誠實對待的真正微妙處：同一個代數式 X(z) 可對應不同序列，視你選哪個收斂域而定——一個因果右側信號相對於一個反因果左側信號——所以收斂域是答案的一部分，而非事後補充。
序列 x_n = a^n（n >= 0）有 X(z) = sum over n >= 0 of a^n z^(-n) = 1 / (1 - a z^(-1)) = z / (z - a)，在 |z| > |a| 時有效。它的單一極點位於 z = a；它恰在 |a| < 1 時落在單位圓內，而這正是序列 a^n 衰減而非增長的條件。
單位圓內的極點（|a| < 1）意味衰減序列——離散穩定性。
別把單位圓與虛軸混淆：對拉普拉斯，穩定性邊界是 Re(s) = 0，但對 z 轉換是 |z| = 1，因為取樣映射 z = e^(s T) 把左半 s 平面纏到單位圓盤的內部。