在環域上的收斂（convergence in an annulus）
泰勒級數在圓盤——一個填滿的圓——內收斂。羅朗級數因為同時帶有正冪與負冪，改為在一個圓環內收斂：兩個圓之間的區域，像一個墊圈，或從上方看的甜甜圈。這種形狀稱為環域，而理解它為什麼是這樣，就是羅朗級數棲身何處的全部故事。
把級數一分為二。解析部分，即 n 大於或等於 0 上 a_n (z - z_0)^n 的和，是一個普通冪級數；它在某個圓盤 |z - z_0| < R 內收斂（半徑為 R 的外圓）。主要部分，即負冪上的和，是一個以變數 1/(z - z_0) 為元的冪級數；它在 1/(z - z_0) 很小時收斂，也就是當 |z - z_0| > r（在某半徑 r 的內圓之外）。要兩半同時收斂，你需要 r < |z - z_0| < R——這就是環域。在那裡收斂甚至在任何閉子環上是一致的，因此你可以逐項積分與微分。
半徑 r 與 R 由最近的奇點決定：R 向外伸到離 z_0 最近的麻煩處，而 r 向內收縮以恰好把 z_0 本身的奇點圍起來（取 r = 0 給出去心圓盤 0 < |z - z_0| < R，正是你用來分類孤立奇點的情形）。一個常見錯誤是以為一個函數只有一個羅朗級數；其實每個環域各有一個，而一個有兩個奇點的函數，在內環與外環給出的展開確實不同。
f(z) = 1/(z(z - 1)) 在 0 與 1 處有奇點。繞 z_0 = 0 有兩個環域：0 < |z| < 1 與 |z| > 1。在內環 0 < |z| < 1 你得到 1/(z(z-1)) = -1/z - 1 - z - z^2 - ...；在外環 |z| > 1 你得到一個只有負冪、完全不同的級數。
一個函數、兩個環域、兩個不同的羅朗級數——這兩環被 z = 1 處的奇點隔開。
在內圓 |z - z_0| < r 之內，羅朗級數並不收斂；該級數對內部那個洞毫無所知，那裡可能藏著 f 的其他奇點。