羅朗級數（Laurent series）
/ loh-RAHN /
泰勒級數只懂得往上爬：它把正冪 (z - z_0)^0、(z - z_0)^1、(z - z_0)^2 等等相加，因此能描述在 z_0 處表現得完美無瑕的函數。但如果你的函數在 z_0 處爆掉了，像 1/(z - z_0) 那樣，怎麼辦？那你就需要被允許往下數——使用 1/(z - z_0)、1/(z - z_0)^2 之類的項。羅朗級數正是如此：一個遍及所有整數冪、負冪與正冪兼備的冪級數。
完整寫出來，以 z_0 為中心的羅朗級數是所有整數 n（從負無窮到正無窮）上 a_n (z - z_0)^n 的和。它自然地分成兩半：n 小於 0 的項（負冪，稱為主要部分）承載了函數在 z_0 處如何失常的全部資訊，而 n 大於或等於 0 的項（類似泰勒的普通部分，稱為解析部分）描述其溫馴的行為。羅朗（Pierre Alphonse Laurent）的定理說：任何在環域（圓環 r < |z - z_0| < R）上解析的函數，都恰有唯一一個在該環域上收斂的這種展開。
羅朗級數之所以如此重要，是因為它讓你僅憑係數清單就能讀出函數在 z_0 處奇點的確切類型——可去、極點還是本性的——而單一個係數 a_{-1}（留數）正是計算圍道積分的鑰匙。羅朗級數就是你對準奇點、用來看清它真實形狀的顯微鏡。
對 f(z) = e^z / z 在 z_0 = 0 附近，先寫 e^z = 1 + z + z^2/2! + ...，再除以 z：e^z / z = 1/z + 1 + z/2! + z^2/3! + ...。唯一的負冪項 1/z 是主要部分；其餘都是解析部分；1/z 的係數是 a_{-1} = 1。
羅朗展開的實際運作：把已知的泰勒級數拆開再相除，讀出負冪。
羅朗級數本身並非唯一——同一個函數在 z_0 周圍不同的環域上有不同的羅朗級數；你必須說清楚指的是哪個環域，而只有在最內層去心圓盤上的那個才揭示 z_0 處的奇點。