轉移函數（transfer function）

把一個信號送進一個電路、一個濾波器、一個揚聲器、或任何線性系統，便會有一個新信號出來。轉移函數是那個單一的複值函數，它恰好刻畫了系統如何重塑你放進去的任何東西——它是系統的指紋。一旦你知道它，便能用簡單的乘法來預測任何輸入的輸出，而不必每次都求解底層的微分或差分方程。

形式上，轉移函數 H(s)（連續系統，經拉普拉斯）或 H(z)（離散系統，經 z 轉換）是輸出之轉換對輸入之轉換的比值：H = （輸出轉換）/ （輸入轉換）。對由線性常係數方程支配的系統，它是一個有理函數——兩個多項式的比——而以它的極點（分母的根，H 在此爆炸）與零點（分子的根，H 在此為零）來書寫時最具資訊量。沿虛軸 s = i omega（或繞單位圓 z = e^(i theta)）求 H 之值便得到頻率響應：|H(i omega)| 告訴你系統把頻率為 omega 的正弦放大多少，arg H(i omega) 告訴你它施加的相移。

極點與零點不是記帳——它們的幾何就是系統的行為，這正是控制工程師以複平面思考的原因。靠近虛軸的極點意味一個輕度阻尼、會振鈴的共振；越過進入右半平面（或離散地落到單位圓外）的極點意味不穩定——輸出無界地增長。靠近虛軸的零點在頻率響應上刻出一個陷波。誠實的告誡：轉移函數只描述一個線性、非時變系統，它捕捉輸入-輸出關係，卻可能藏起在分子與零點之間抵消的內部模態（一次極零相消可能掩蓋一個從端點不可控或不可觀測的不穩定性）。