用圍道積分反演拉普拉斯轉換（Laplace transform inversion by contour integration）
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拉普拉斯轉換是求解微分方程、分析電路與控制系統的標準工具：它把對時間求微分這個困難操作變成乘以 s 這個容易操作，於是常微分方程成為 F(s) 中的代數問題。但在你解完那個代數問題後，你握著的是 F(s)，而你需要把真正的時域答案 f(t) 拿回來。反演轉換就是那最後一步，而複分析給了它一套乾淨、近乎自動的辦法。
反演公式是 f(t) = (1 / (2 pi i)) 乘（沿布羅姆維奇線對 e^(s t) F(s) ds 的積分），那條線是落在 F 所有奇點右側的垂直線 Re(s) = c。實用方法不是正面硬算這條線積分，而是用左側一個大半圓封閉圍道、再套用留數定理。F(s) 的每個階為 m 的極點 s_k 都貢獻一個 e^(s t) F(s) 的留數；對單極點，那留數就是 e^(s_k t) 乘以當 s -> s_k 時 (s - s_k) F(s) 的極限。所以反轉換實際上就是留數之和，答案以指數 e^(s_k t) 之和的形式出現（當極點重複時還乘 t 的多項式）。約當引理證明大圓弧在 t > 0 時消失，這正是使封閉步驟合法的原因。
這就是為何有理轉換反演起來如此輕鬆：把 F(s) 因式分解、做部分分式或留數、再讀出指數。本方法也能處理分支點——譬如 F(s) 含 s 的平方根——做法是把布羅姆維奇線形變成一個沿負實軸纏繞支割線的鎖孔，把反演的那部分化成一個代表連續譜的實積分（擴散與熱問題的典型）。坦白的限制：公式假設 f 是指數階以使轉換收斂，而把 c 取得太靠左（落在某極點左側）會悄無聲息地給出錯誤的、非因果的答案。
解 y'' + y = 0，初值 y(0) = 0、y'(0) = 1。轉換給出 (s^2 + 1) Y(s) = 1，故 Y(s) = 1 / (s^2 + 1)。它的極點在 s = 正負 i；對 e^(s t) / (s^2 + 1) 在該處求留數之和得 y(t) = sin t。微分方程從未需要直接求解——代數加兩個留數就完成了。
Y(s) 的極點成為 y(t) 的指數（此處為正弦）模態。
留數做法假設你能封閉圍道且圓弧消失；若 F(s) 在大圓弧上衰減不夠（例如 a > 0 時 F(s) = e^(a s)，對應一個時間平移），封閉便失敗，你必須用其他方法反演。