魏爾斯特拉斯收斂定理（Weierstrass convergence theorem）
/ VY-er-shtrahss /
在實數線上，可微函數的一致極限可能是場災難：極限可能根本不可微，而即使可微，導數也可能不收斂到它的導數。魏爾斯特拉斯著名的「連續但處處不可微」函數正是這樣建構出來的極限。複數世界的表現好得多，而本定理正是原因。它說：若全純函數以局部一致的意義收斂，極限自動是全純的，而且整座導數之塔也一同收斂。
嚴格地說：設 f_n 在開區域 D 上全純，且 f_n -> f 局部一致收斂（在每個緊子集上一致）。則 f 在 D 上全純，且對每個階數 k，導數 f_n^(k) 同樣局部一致收斂到 f^(k)。證明是柯西工具的一行妙用。首先，作為連續函數的局部一致極限，f 連續。接著，對任何小迴路，f 沿它的積分是 f_n 的積分之極限，而每個 f_n 的積分由柯西定理皆為 0，故 f 沿每個迴路積分皆為 0，由莫雷拉定理可知 f 全純。至於導數，用柯西積分公式把 f_n^(k)(z) 寫成 f_n 除以 (w - z)^(k+1) 的圍道積分；在固定圍道上的一致收斂讓你把極限穿過積分，得到 f^(k) 及其收斂。
這一條結果是整個正規族理論的引擎。它保證蒙泰爾緊性論證所產生的極限——尤其是黎曼映射定理中的極值映射——本身是全純的，因此極限對象落在正確的空間裡。它也正當化了在收斂區域內對冪級數與無窮乘積逐項求導。誠實的提醒：你確實需要局部一致收斂；全純函數僅僅逐點收斂可能產生一個非全純（甚至不連續）的極限。
指數級數的每個部分和 P_N(z) = 1 + z + z^2/2! + ... + z^N/N! 都是多項式，因而是整函數。這些和局部一致收斂到 e^z。由魏爾斯特拉斯定理，極限 e^z 是整函數，且其導數相符：逐項求導得到相同的級數，重新得到 (e^z)' = e^z。
整函數的局部一致極限是整函數，且導數收斂到該極限的導數。
最驚人的部分是所有導數的收斂，這在實可微函數上沒有對應物——在那裡，一致極限甚至未必一次可微。局部一致收斂不能被削弱為逐點收斂。