局部一致收斂（locally uniform convergence）

想像一列函數慢慢地安頓到一個極限函數上，像閃爍的影像逐漸聚焦清晰。「安頓下來」有好幾種強弱。最弱的是逐點收斂，只要求在每個個別的點上，值最終會靠近——但收斂速度在不同的點上可能天差地遠，因此即使每一項都光滑，極限仍可能很醜。最強的是在整個區域上的一致收斂，要求一個處處同時成立的單一誤差界。局部一致收斂介於兩者之間，而且恰好是適合全純函數的概念：在區域的每個緊（有界閉）部分上收斂是一致的，即使在靠近邊界或趨向無窮遠時收斂變差。

嚴格地說，函數列 f_n 在開區域 D 上局部一致收斂到 f，是指對 D 的每個緊子集 K，當 n -> 無窮時 |f_n(z) - f(z)| 在 K 上的最大值趨於 0。相較於整體一致收斂，關鍵的放寬在於：你絕不被要求一次掌控 D 邊緣附近的行為；你只需在每一個固定的內部塊上取勝。一個乾淨的判準：函數列局部一致收斂，恰當且僅當它在每個嚴格落在 D 內部的閉圓盤上一致收斂。例如，幾何級數 sum z^n 的部分和在開單位圓盤 |z| < 1 上局部一致收斂到 1/(1 - z)——在每個較小的圓盤 |z| <= r（r < 1）上一致收斂——但在整個開圓盤上並非一致收斂，因為誤差在 |z| -> 1 時爆增。

這正是尊重全純性的收斂。在局部一致收斂之下，全純函數的極限仍是全純的，而且（一個沒有實變數類比的小奇蹟）導數也收斂——這就是魏爾斯特拉斯收斂定理。它也是正規族與蒙泰爾定理背後的自然拓撲。常見的誤解是期待整體一致收斂；在非緊定義域上這通常要求太多，硬要它會丟掉大多數有用的極限。局部一致才是誠實而可行的標準。