緊集上的有界性與連續性（boundedness and continuity on a compact set）

一個複數集合是有界的，若它能裝進某個有限半徑的圓盤裡——存在一個數 M，使得集合中每個 z 都有 |z| <= M。函數 f 在一個集合上有界，是指它的輸出集合有界，也就是處處 |f(z)| <= M。有界性是個樸素卻常用的概念：它說函數在那塊區域上絕不跑向無窮。

它之所以與連續性配對，源自分析學中一個主力定理。平面上一個集合是緊的（就此處要緊的意義而言），恰好當它既閉（包含自己的邊界）又有界——這就是海涅-博雷爾的刻畫。定理接著說：緊集上的連續函數自動有界，而且它的模 |f| 在該集合上確實取到一個最大值和一個最小值。沒有東西逃向無窮，而那些極值是真正被達到的，不只是被趨近。

這「緊緻給出有界」的原理，是好幾個招牌結果背後安靜的引擎。最大模原理說：在緊區域上全純的 f 在邊界上取得最大的 |f|；劉維爾定理（有界的整函數必為常數）是一個有界性陳述；而許多存在性證明的作法是從一個有界族中抽出收斂子列，這正是緊緻性在運作。每當你看到「在閉且有界的區域上」，就該預期附近有一個緊緻性論證。