開集、連通與區域（open sets, connectedness and domains）

在你能談論一個複變函數連續、可微或解析之前，你得先說它住在「哪裡」——在平面的哪個部分。幾個詞彙搭起這個舞台。點 z_0 的一個鄰域是它周圍的一個小開圓盤，即所有滿足 |z - z_0| < r 的點 z（r > 0 為某半徑）。一個集合是開的，如果它「全是內部、沒有邊」：集合中每一點周圍都有一整個小鄰域仍落在集合之內。開圓盤 |z| < 1 是開的；閉圓盤 |z| <= 1 不是，因為恰在邊緣上的點，其鄰居會探出界外。

一個集合是連通的，粗略地說，就是它是一整塊——你能在它任兩點之間穿行而不離開集合（對平面中的開集，你甚至能沿著一條由直線段構成的路徑做到）。「區域（domain）」一詞在複變分析中有精確的技術含義：區域是一個「既開又連通」的集合。（當心——日常數學裡「domain」也單指一個函數的輸入集，所以要看上下文；此處指的是這個既開又連通的區域。）開圓盤、上半平面與環域都是區域；兩個分開的圓盤合在一起雖開卻不連通，故非區域。

何必為此操心？因為複變分析的核心定理都是關於「在一個區域上的函數」的陳述，而它們確實兩個性質都需要。開性確保每一點周圍都有餘地，讓導數或極限有意義（沒有彆扭的邊界點）。連通性則是唯一性得以成立的關鍵：恆等定理說，一個在區域中極小一塊上被定下的函數，會被逼著在整個區域上都定下來——但這只因為該區域是一整塊連通的。把這些基礎弄對，日後那些有力的結果才站得穩。