以 z 與 z-bar 描述的直線、圓與區域（lines, circles and regions）
由於每個複數都是平面上的一個點，z 的一條方程式或不等式便刻劃出你能畫出的曲線或區域——而學會在代數與圖像之間翻譯，是一項核心技能。最簡單的例子：|z - a| = r 是以點 a 為心、半徑為 r 的圓（所有離 a 恰好距離 r 的點），而 |z - a| < r 是其內部的開圓盤。條件 |z - a| = |z - b| 是到 a 與 b 等距的點所成的集合——連接 a 與 b 之線段的垂直平分線，一條直線。
許多這類條件用共軛讀來最為乾淨。因為 Re z = (z + z-bar)/2、Im z = (z - z-bar)/(2i)，一條像「Re z = 1」（一條鉛直線）這樣的實線性方程便化為 z + z-bar = 2，而一般的直線可寫成 (b-bar z) 的實部等於 c，其中 b 是固定的複方向。一道了不起的單一方程式 z z-bar + (a-bar z + a z-bar) + c = 0（c 為實數）一次捕捉了每一條直線「與」每一個圓：當某個係數非零時它是圓，當它退化時它是直線——這正是為何莫比烏斯變換日後把直線與圓視為同一族。
不等式刻出的是區域而非曲線：|z - a| < r 是一個圓盤，Im z > 0 是上半平面，1 < |z| < 2 是一個環域（兩圓之間的圓環），而 0 < arg z < pi/4 是一個楔形扇區。這些區域正是複變函數登台演出的舞台，而能流暢地讀出「這描述的是哪個區域？」，正是看見一個問題的幾何與迷失在符號之中的分野。
|z - 1| <= |z + 1| 是哪個區域？兩邊平方（|z-1|^2 = |z|^2 - 2 Re z + 1，右邊同理），|z|^2 與 1 抵消，剩下 -2 Re z <= 2 Re z，即 Re z >= 0——閉的右半平面。離 1 比離 -1 更近的點，恰好就是實部非負的那些。
把代數翻譯成幾何：一個距離的比較化為一個半平面。
當心 z-bar：任何真正牽涉 z-bar（而不只是 |z|^2 = z z-bar）的方程式，一般「不是」全純函數的圖形——它描述的是幾何，而非解析曲線。共軛在此是極佳的描述工具，卻是日後可微性的一個警訊。