共軛複數（complex conjugate）

z = x + i y 的共軛複數，是把虛部的符號翻轉所得到的數：z-bar = x - i y。從幾何上看，它是 z 對實軸（水平軸）的鏡像——軸上方的點會反射到下方同樣的距離處。所以共軛不過就是對 x 軸的反射，是複平面最簡單的對稱。

它的魔力在於把 z 乘以它自己的共軛時發生的事：z 乘以 z-bar = (x + i y)(x - i y) = x^2 - (i y)^2 = x^2 + y^2，一個實的非負數——其實正是 |z|^2，即離原點距離的平方。虛部總是抵消。共軛也與運算配合得很好：和的共軛是共軛的和，積的共軛是共軛的積。而你可以由 Re z = (z + z-bar)/2、Im z = (z - z-bar)/(2i) 把 z 的兩個部分還原出來。

共軛是把複化實的主力技巧。它正是你用來做複數除法的辦法（把分子分母同乘以分母的共軛，以清除底下的 i）。它也捕捉了實係數多項式的一個深刻事實：它們的根成共軛對出現，所以若 2 + 3i 是根，那麼 2 - 3i 也是。這份對稱貫穿了整個學科。