複數（complex number）

複數就是把一個普通實數和虛數單位 i 的某個倍數黏在一起所得到的東西。我們把它寫成 z = x + i y，其中 x 與 y 是普通的實數，而 i 服從 i^2 = -1。x 那一份活在尋常的數線上；i y 那一份則指向一個全新的、與之垂直的方向。於是你不再只有一條數線，而是擁有一整片平坦的數平面，z = x + i y 就指名其中的一個點——向右走 x 步，再向上走 y 步。

兩個複數相等，恰好在它們的兩個部分都相符時成立：x + i y 等於 a + i b，當且僅當 x = a 而且 y = b。這是關鍵的結構事實——一個複數承載兩個各自獨立的實量，而非一個，這就是為什麼你可以把它想成一個點 (x, y)，或是一支從原點指向該點的箭頭。實數不過就是 y = 0 的複數，躺在水平軸上；而純虛數（例如 3i）則是 x = 0 的複數，躺在垂直軸上。

何必如此費事？因為複數是「代數封閉」的：任何次數的多項式方程式，無論係數是實是複，它的所有根都落在這一個數系之內（代數基本定理）。實數做不到這一點——x^2 + 1 = 0 沒有實根——但一旦你有了 z = x + i y，就再也不必發明任何新東西。正是這份自足的完備性，使複變分析得以成立。