虛數單位（imaginary unit）

在實數線上，沒有任何一個數的平方是負的——任何實數，無論正負，平方後都落在正數或零上。因此方程式 x^2 = -1 沒有實數解。虛數單位，記作 i，正是我們為了填補這個缺口而發明的新數：它是一個符號，只服從一條規則 i^2 = -1。你不必把它想成坐落在普通數線上的某處；你只要同意把 i 當成一個量，使它平方後等於 -1，然後照普通代數去運算就好。

一旦接受 i^2 = -1，i 的次方就會以乾淨的四步循環打轉：i^1 = i，i^2 = -1，i^3 = i^2 乘以 i = -i，i^4 = (i^2)^2 = 1，接著重複——i^5 = i，i^6 = -1，依此類推。要化簡 i 的任何次方，把指數除以 4 並保留餘數即可：例如 i^27，因為 27 = 4 乘以 6 + 3，所以 i^27 = i^3 = -i。這個小循環就是接下來一切運算的引擎。

關於這個名字值得誠實說明。把 i 叫做「虛」是一場歷史的誤會——這些數並不比負數或分數更不真實、更不實用，當年負數與分數也曾被人懷疑。它們不過是數的第二個維度，只要讓 i 加入實數，你就能解出每一個多項式方程式，而不只是其中一些。「imaginary」一詞最初（出自笛卡兒）帶有貶意，卻沿用至今；別讓這個名字騙你以為 i 是某種把戲。