卡爾達諾的三次方程與複數的起源（Cardano's cubic）
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這裡有一個關於歷史的真正意外：複數並不是為了解 x^2 + 1 = 0 才進入數學的。對二次方程而言，當答案是「虛」的時候，人們只是聳聳肩說這方程式無解——沒什麼損失。真正逼著我們接受複數的，是十六世紀卡爾達諾與邦貝利手中的三次方程。在那裡，負數的平方根作為無可迴避的踏腳石出現，而它們通往的答案，人人都看得出是再普通不過的實數。
卡爾達諾公式以一道涉及 (q/2)^2 - (p/3)^3 之平方根的配方來解三次方程 x^3 = p x + q。邦貝利端詳方程式 x^3 = 15x + 4，它顯然有實數解 x = 4，公式卻要你穿過 -121 的平方根——一個「沒有意義」的數。邦貝利的飛躍在於照樣硬幹下去：他把 sqrt(-121) 當成 11i，依照 i^2 = -1 做代數，看著虛的部分相互抵消，答案 4 就蹦了出來。虛數是貨真價實的工具，交出了真實而正確的答案。
這就是複數非被發明不可的誠實理由：不是出於抽象的念頭，而是因為它們在一個首尾都全然實數的計算途中出現了。三次方程三根皆為實數、公式卻必須途經複數的那種情形甚至有個拉丁名字 casus irreducibilis（不可約情形）——而且可以證明這無可迴避：你無法只靠實數根式解出那些三次方程。複數是出於必然而生，並非出於空想。
對 x^3 = 15x + 4 而言，卡爾達諾公式需要 2 + 11i 與 2 - 11i 的立方根。結果它們是 2 + i 與 2 - i；兩者相加恰為 4，正是那個實根——虛部互相抵消了。
複數在計算途中出現、隨後消失，留下一個實數答案。
一個常見的迷思是複數是為了解 x^2 = -1 而發明的。歷史上那種情形只是被當成「無解」而擱置；真正讓複數變得不可或缺的，是三次方程——在那裡，得到實數答案竟必須繞道虛數。