複數的加法與乘法（complex addition and multiplication）

複數的加法與乘法，就是你早已熟悉的中學代數，只多加一條家規：每當看到 i^2，就把它換成 -1。要相加，就把實部與虛部分別合併，就像合併同類項：(a + i b) + (c + i d) = (a + c) + i (b + d)。從幾何上看，這不過就是向量加法——把一個數的箭頭平移到另一個數的箭尖。

要相乘，照尋常方式展開括號，再套用 i^2 = -1：(a + i b)(c + i d) = ac + i ad + i bc + i^2 bd = (ac - bd) + i (ad + bc)。ac - bd 中的那個負號是唯一要記住的東西；那正是 i^2 = -1 在發揮作用。一個小例子：(2 + i)(3 + 4i) = 6 + 8i + 3i + 4i^2 = 6 + 11i - 4 = 2 + 11i。不需要任何新的代數規則——只要那一條替換。

這些運算使複數構成一個「體（field）」，意思是加法與乘法表現得跟實數一樣良好：兩者都可交換、可結合，乘法對加法可分配，有 0 也有 1，而且每個非零數都有逆元。正是這一點，讓你能做微積分、解方程、建起整座複變分析的大廈，而不必擔心代數會出岔子。