極式與指數式（polar and exponential form）

在複平面中指名一個點，有兩種同樣好的辦法。直角式 z = x + i y 告訴你向右多遠、向上多遠。極式則告訴你離原點多遠、朝哪個方向：z = r (cos theta + i sin theta)，其中 r = |z| 是模，theta = arg z 是輻角。兩者由 x = r cos theta 與 y = r sin theta 相連——就是你熟悉的極座標換算。

歐拉公式 e^(i theta) = cos theta + i sin theta，讓你把極式寫得更為精簡：z = r e^(i theta)，稱為指數式。這不只是簡寫：它讓乘法幾乎不費吹灰之力。因為指數相加，(r e^(i theta))(s e^(i phi)) = r s e^(i(theta + phi))——要把兩個複數相乘，就把它們的模相乘、把輻角相加。除法則反過來：模相除、輻角相減。原本繁瑣的代數展開，化為一行。

指數式是觀看大部分複變分析的最佳透鏡。乘法如今顯然就是縮放（乘以 r）加上旋轉（轉 theta）；次方與方根由棣美弗定理立即得出；單位根坐落在等間隔的角度上；而複指數與複對數則直接建在它之上。若你只能從基礎帶走一件工具，那就讓它是 z = r e^(i theta)。