模（modulus）

複數 z 的模，記作 |z|，就是它在複平面中離原點的距離。若 z = x + i y 坐落於點 (x, y)，則由畢氏定理，那段距離是 |z| = sqrt(x^2 + y^2)。它是從 0 到 z 那支箭頭的長度。模永遠是一個為零或為正的實數，而且只有對 z = 0 才為零。對實數而言它退化為尋常的絕對值，這正是為何沿用同一個記號。

一個更俐落的計算法用到共軛：|z|^2 = z 乘以 z-bar = x^2 + y^2，直到最後才出現平方根。模在乘法與除法下表現極佳：|z w| = |z| |w| 而且 |z/w| = |z|/|w|。（加法是例外——|z + w| 一般而言並不等於 |z| + |w|；這個差距正是三角不等式。）例如對 z = 3 + 4i，|z| = sqrt(9 + 16) = 5。

模是「大小」進入複變分析的方式，而且無處不在。數列與級數的收斂靠它來度量；函數的模掌控著像最大模原理這樣的深刻結果；柯西估計則以函數的模來界定導數。每當你需要說某個複量很小或很大，指的都是它的模——因為與 z 本身不同，|z| 是一個你能比較的、誠實的實數。