無窮遠點（point at infinity）

在尋常算術中，當 z 趨近 0 時 1/z 變得越來越大，沒有任何一個數是它「抵達」的——除以零沒有定義，其值奔向無窮。複變分析既大膽又俐落的修補，是添上一個全新的單一點，稱為無窮遠點，以無窮符號表示，並宣告：當 |z| 無界增長時，z 朝這唯一的點而去。平面加上這個額外的點，就是擴充複平面，常寫成 C-hat。

關鍵是只有「一個」無窮遠點，而非每個方向各有不同的無窮——這與實數線分開的正無窮與負無窮不同。無論你朝平面外哪個方向行進（向北、向西南、或繞著旋進），你都趨近同一個單一點。有了它，從前禁止的式子便有了乾淨的意義：1/0 = infinity 而 1/infinity = 0，這使映射 z -> 1/z 在整個擴充平面上成為 0 與 infinity 的完美、毫無破綻的互換。

何必這麼費事？因為加上無窮，使整套理論更圓滿、更對稱。莫比烏斯變換成為擴充平面到自身的真正一對一映射；有理函數處處皆有良好定義；而「無窮附近的行為」也變得能像研究任何尋常點附近的行為一樣去研究（代入 w = 1/z，再看 w = 0 附近）。這個一點緊化最自然的家，是一個球面——黎曼球面。