平面中的數列與收斂（sequences and convergence in the plane）

一個複數列就是平面上點的無窮列表 z_1, z_2, z_3, ...。它收斂到極限 L，若這些點最終任意靠近地聚攏在 L 周圍——精確地說，若對每個 epsilon > 0 都存在一個指標 N，過了它之後 |z_n - L| < epsilon。從幾何上看，L 周圍每個圓盤（無論多小）都包含數列從某項起的所有項。若不存在這樣的 L，數列發散。

令人安心的是，平面中的收斂不過是同時兩個實收斂。寫 z_n = x_n + i y_n。那麼 z_n 收斂到 L = a + i b，當且僅當 x_n 收斂到 a 且 y_n 收斂到 b（作為實數列）。這由與連續性相同的模不等式推出：距離 |z_n - L| 小，恰好當兩個座標距離都小。所以你永遠不需要新的收斂理論——逐分量重用實數列即可。

數列悄悄支撐著一大堆東西。整套級數的機制（部分和構成一個數列）、冪級數、泰勒與羅朗展開、以及函數的極限，全都仰賴平面中的收斂。一個關鍵的支撐事實是完備性：平面沒有缺漏的點，所以柯西數列（其各項最終彼此靠近）總是收斂到一個真實存在的點。與有界性結合，便得到博爾扎諾-魏爾斯特拉斯性質——每個有界數列都有收斂子列——這是無數緊緻性與正規族論證的種子。