複變函數的連續性（continuity of a complex function）

複變函數 f 在某點 z_0 連續，是指它在那裡的值恰好就是鄰近的值正在趨向的目標——沒有跳躍、沒有破洞。用符號寫，f 在 z_0 連續，當 f(z) 在 z 趨於 z_0 時的極限存在並等於 f(z_0)。直覺上，若你把輸入 z 輕推一點點，輸出 f(z) 也只動一點點；函數不把平面撕裂。

用 epsilon 寫清楚：f 在 z_0 連續，是指對每個 epsilon > 0 都存在 delta > 0，使得 |z - z_0| < delta 迫使 |f(z) - f(z_0)| < epsilon。函數在一個集合上連續，是指它在該集合的每一點都連續。因為連續性建立在複極限之上，它繼承了「所有方向」的要求：f 必須沿進入 z_0 的每一條路徑都趨近 f(z_0)，而不只是沿座標軸。

連續性在函數組合下的表現正如你所願，這使你寫下的大多數函數毫不費力就連續。連續函數的和、差、積都連續；商 f/g 在 g 不為零之處連續；連續函數的合成也連續。z 的多項式處處連續，有理函數除了分母為零之處外處處連續。連續是溫和的基線；複分析那戲劇性的力量出現在更上一層——可微性。