複可微（complex differentiability）

在點 z_0 處的複可微，是指差商確實具有極限——也就是 f 有一個良好定義的複導數 f'(z_0)。換句話說，在 z_0 附近 f 的行為就像乘上一個單一的複數：f(z) 約等於 f(z_0) + f'(z_0)(z - z_0)，而那個線性部分是「乘法」，並非任意線性映射。

與實平面相比：(x, y) 的映射若有良好的線性逼近（由含四個自由元素的 2×2 雅可比矩陣給出）就是實可微。複可微則窄得多：唯一能充當「乘以複數 a + i b」的 2×2 矩陣，是特殊的旋轉-縮放形式 [a, -b; b, a]。要求逼近矩陣恰為此形，就等同於要求柯西-黎曼方程 u_x = v_y 與 u_y = -v_x。

正因如此，僅在單一孤立點上的複可微幾乎毫無價值；只有當 f 在某個「開集」的每一點都複可微時（此時稱之為解析／全純）魔法才出現。在開集上這一條件層層放大：函數自動無窮可微、在 f' 非零處保角，且局部等於一個收斂的冪級數。對僅僅實可微的函數，這些免費的升級全都不會發生。