解析函數與柯西-黎曼方程
柯西-黎曼方程（Cauchy-Riemann equations）
/ koh-SHEE REE-mahn /
將複變函數拆成實部與虛部，f(z) = u(x, y) + i v(x, y)。柯西-黎曼方程就是它們偏導數之間必須成立的兩條耦合關係，凡 f 複可微之處皆成立：u_x = v_y 與 u_y = -v_x。它們是一本精確的字典，把「具有複導數」翻譯成關於普通實偏導數的陳述。
它們從何而來？用兩種方式計算差商。沿實軸趨近 z_0：導數得出為 u_x + i v_x。沿虛軸趨近（除以純虛步長帶來因子 1/i = -i）：導數得出為 v_y - i u_y。複可微要求這兩者「必須」相等，將實部對實部、虛部對虛部一一比對，恰好給出 u_x = v_y 與 v_x = -u_y。
從幾何上讀，這組方程說明 (u, v) 的雅可比矩陣是一個旋轉-縮放，而非任意線性映射——這正是解析映射在 f' 非零處保角（共形）的原因。它們也立刻逼使 u 與 v 為調和函數並互為調和共軛，於是整套豐富的調和函數理論就藏在這兩條看似無害的方程之中。
對 f(z) = z^2 = (x^2 - y^2) + i(2xy)：此處 u = x^2 - y^2，v = 2xy，故 u_x = 2x = v_y 且 u_y = -2y = -v_x。方程處處成立——確實 f'(z) = 2z。
當柯西-黎曼方程成立時，導數可讀作 f'(z) = u_x + i v_x。
柯西-黎曼方程在某點成立是該點可微的必要條件，但並不充分——還需偏導數連續（或 f 實可微）。參見必要與充分條件。
又稱
另見