實部與虛部皆為調和函數

這是解析性最初令人驚訝的回報之一。若 f = u + i v 解析，則它的實部與虛部各自作為 (x, y) 的函數，都自動滿足拉普拉斯方程：u_xx + u_yy = 0 與 v_xx + v_yy = 0。我們說 u 與 v 是調和函數。於是每個解析函數都悄悄地、免費地產生物理中最重要偏微分方程的兩個解。

推導是從柯西-黎曼方程出發的一段短計算，前提是偏導數連續（解析函數確實如此，它們其實無窮可微）。由 u_x = v_y 對 x 微分：u_xx = v_yx。由 u_y = -v_x 對 y 微分：u_yy = -v_xy。相加得 u_xx + u_yy = v_yx - v_xy = 0，因混合偏導數相等。同樣的技巧給出 v_xx + v_yy = 0。

這座橋雙向通行且極為有用。它意味任何解析函數的實部——穩態熱流中的溫度、靜電學中的電位、理想流體流動中的速度勢——都是調和的，於是複分析成為二維位勢問題的強力工具。反之，給定良好（單連通）區域上的調和 u，你可找到調和共軛 v 並還原解析函數 f = u + i v，把困難的偏微分方程化為解析函數的代數。