正規族（normal family）

正規族是一群在某種有用意義下「緊」的全純函數：不論你從中抽出哪一個無窮序列，總能再抽出一個收斂得很好的子序列。它是數列的波爾查諾-魏爾斯特拉斯性質（每個有界數列都有收斂子列）在函數空間中的類比。緊性是分析學中強大的解題槓桿——它讓你取極限並確知極限仍在局內——而正規族正是這個槓桿對全純函數成立的場景。

嚴格地說，開區域 D 上全純函數的族 F 稱為正規的，若取自 F 的每個序列 f_n 都有一個在 D 上局部一致收斂的子序列——其中極限既可以是全純函數，也可以（在動力系統採用的較寬鬆約定下）是常數無窮，意即子序列在緊集上一致地逃逸到無窮遠。關鍵在於你不需要原序列收斂；你只需能在其中找到一個收斂的子序列。由魏爾斯特拉斯收斂定理，任何這樣的極限仍是全純的，故正規族對取這些子序列極限封閉——它是一個自足、緊緻的函數世界。

為何重要？正規性把存在性問題化為一句「抽出收斂子序列並取極限」。黎曼映射定理正是這樣證明的：你建立一個候選映射的正規族，取一個序列使其在基點的導數趨近最大可能值，抽出局部一致極限，再證明該極限就是所求的共形映射。蒙泰爾定理是實務中辨認正規族的主力（局部有界就足夠）。誠實的提醒：正規性是「族」的性質，而非任一個函數的性質，且收斂子序列的極限可能隨序列而異——並沒有斷言整個族收斂到任何東西。