逐項微分與積分

對無窮和求導看來很危險：導數本身是一個極限、和又是另一個極限，而極限不總是可交換的。但在冪級數的收斂圓盤內，這種危險完全消散。你可以把級數當成有限多項式一樣求導——逐項分別求導再相加——所得正是該級數所定義函數的真正導數。沿路徑積分也享有同樣的自由。這是本科目中最令人愉快的事實之一。

具體地說，若 f(z) = sum a_n (z - z_0)^n 對 |z - z_0| < R 成立，則 f'(z) = sum n a_n (z - z_0)^(n-1)，由逐項求導得到，而這個新級數有「相同」的收斂半徑 R。同樣地，一個反導數是 sum a_n (z - z_0)^(n+1) / (n+1)，半徑仍為 R。因為半徑不變，你可以永遠重複此過程：f 在圓盤內具有各階導數，所以冪級數函數自動無窮可微。其正當性來自在緊緻子集上的一致收斂——正是這個性質讓你能合法地把導數（或積分）與無窮和交換。

回報是巨大的。第一，它顯示冪級數定義一個解析函數，因為它在圓盤內處處複可微。第二，把級數求導 n 次再代 z = z_0 就分離出係數：a_n = f^(n)(z_0) / n!，即泰勒公式。所以係數不是任意的數；它們是函數的導數，整齊地打包好。第三，逐項積分讓你由舊級數造出新級數——例如把 sum z^n = 1/(1 - z) 逐項積分，免費得到 -Log(1 - z) 的級數。