莫雷拉定理（Morera's theorem）

柯西定理說：若一個函數解析，則它沿每條閉迴路的積分為零。莫雷拉定理是其逆命題，而且威力驚人：若一個連續函數具有「在某區域內沿每條閉迴路的積分都為零」的性質，則它在那裡必為解析。迴路積分為零不只是解析的徵候——它足以保證解析。

以下用平白的步驟說明它為何成立。設 f 在某圓盤上連續，且沿其中每個三角形邊界的積分為零。那麼你可以定義一個函數 F，做法是沿任意路徑把 f 從一個固定基點積分到 z——路徑無關正是迴路積分為零所提供的，故 F 有良好定義。一個簡短的估計表明 F 複可微且 F' = f，所以 F 解析。但解析函數無窮可微，所以 F'，也就是 f，也解析。連續性加上三角形積分為零，便一路升級到解析。

莫雷拉定理是證明解析函數的極限與積分仍為解析的主力。若一列解析函數在緊集上一致收斂，迴路積分可過渡到極限並保持為零，故依莫雷拉極限為解析——不必直接檢查導數。同樣的把戲表明由依賴參數的積分所定義的函數是解析的，這就是它緊鄰參數積分解析性結果的原因。