圍道積分與柯西定理
路徑無關（path independence）
想像兩位登山者從同一個登山口出發，循完全不同的步道前往同一座山頂。對大多數旅程而言，所費的力氣取決於路線。但對某些特殊的量——比如說所爬升的高度——只有起點與終點要緊。路徑無關說的是圍道積分的行為就像爬升的高度：只要你留在相關區域內，f 在兩點之間的積分值不論你走哪條圍道都相同。
為什麼積分會有這種性質？因為它與另外兩件事等價，而它們同生共死。在連通開集上，對連續的 f 而言，下列是同一個性質：(1) f 在任兩點之間的積分與路徑無關；(2) f 在該集上有原函數；(3) f 沿集中每條封閉圍道的積分為零。由 (2)，基本定理立即給出 (1) 與 (3)；反過來，若迴路為零，你可以用 F(z) = f 從一個固定基點到 z 的積分來定義原函數，路徑無關性保證了這是良好定義的。
這三向等價是本章的概念引擎。柯西定理將免費地為單連通區域上的解析函數提供路徑無關性，於是一切美好的事都隨之而來。誠實的提醒：無關性在某個區域內成立，而區域的形狀就是一切。同樣的 f = 1/z 在右半平面上是路徑無關的（它在那裡有原函數，即 log z 的一個分支），但在繞原點的圓環上則不是，那裡洞兩側的兩條路線相差 2 pi i。
把 f(z) = 2z 從 0 積到 2。直線路徑與半圓繞道給出相同答案，因為 2z 有原函數 z^2：兩者都等於 2^2 - 0^2 = 4。相比之下，1/z 從 1 積到 -1，沿上半單位半圓對比下半單位半圓，給出 i pi 對比 -i pi——與路徑有關，原因是 0 處的洞。
路徑無關（2z，有原函數）對比路徑相依（1/z 繞洞）。
路徑無關是關於特定區域的陳述：擴大或穿孔該區域都可能摧毀它，所以在援引它之前永遠要問「在哪個區域上無關？」
又稱
另見