圍道積分與柯西定理
圍道積分的基本定理（fundamental theorem for contour integrals）
實數線上的微積分基本定理說，對導數積分會還原出原函數的淨變化：F' 從 a 到 b 的積分為 F(b) - F(a)。複數類比對圍道積分恰恰這麼說，而它正是把許多積分化為單一減法的槓桿。
陳述如下：設 F 在區域 D 上解析，導數 f = F' 連續，又設 C 為 D 中從點 z1 到點 z2 的任何圍道。則 f 沿 C 的圍道積分等於 F(z2) - F(z1)。證明簡短而富啟發性——用 z(t) 參數化 C，套用連鎖律使得 f(z(t)) z'(t) 是 F(z(t)) 對 t 的導數，然後參數 t 中的實數基本定理便完成工作，留下 F(z(b)) - F(z(a))。所有複數的內容都已被導回一個熟悉的單變量積分。
有兩個推論是立即且核心的。第一，若 f 在 D 上有原函數，其積分只取決於端點，而非路徑。第二，取封閉圍道（z1 = z2）會給出恰好為零的積分。這是從「f 有反導數」通往「f 的迴路為零」的橋樑，而反過來讀它，將在柯西定理中讓我們斷定：好區域上的解析函數總是擁有原函數。
由於 e^z 是它自己的原函數（e^z 的導數是 e^z），e^z 沿從 0 到 i pi 的任何圍道的積分等於 e^(i pi) - e^0 = -1 - 1 = -2，無論圍道在兩點之間如何蜿蜒。
用複數基本定理求出的積分：只需把端點代入原函數即可。
此定理假設 f 在整個區域上有原函數；當不存在單值原函數時它不適用——這正是 1/z 逃脫它、繞原點給出 2 pi i 而非 0 的途徑。
又稱
另見