范德蒙德行列式

范德蒙德行列式是這樣一個矩陣的行列式：其各列是一列數 x_1, ..., x_n 的逐次冪。值得注意的是，它分解為所有兩兩之差 (x_j - x_i)（取遍 i < j）之積。這一閉式是被引用最多的行列式恆等式之一，也是多項式插值背後的代數引擎。

具體地，范德蒙德矩陣 V 的元素 V_{ij} = x_i^(j-1)，故其各行在每個節點處依次取 1, x, x^2, ..., x^(n-1)。則 det(V) = 取遍所有 i < j 對的 (x_j - x_i) 之積。最乾淨的看法：det(V) 是關於諸 x 的多項式，當兩個節點重合時為零（兩列相等使 det = 0），故每個因子 (x_j - x_i) 都必整除它；再核對次數與首項係數即恰好釘住這個乘積。

為何重要：det(V) 非零當且僅當節點 x_1, ..., x_n 兩兩不同。這一句話說的是插值問題「求唯一一個次數小於 n 且過 n 個給定點的多項式」在 x 座標各異時總有唯一解——因為求係數就是求解范德蒙德線性方程組，而它恰在行列式非零時可逆。同一事實也認證了 1, x, ..., x^(n-1) 是線性無關的函數。

注意：范德蒙德矩陣是受人喜愛的理論對象，但對大 n 出了名地病態——它的行列式可能極大或極小，數值上求逆來做插值並不穩定。實踐中用拉格朗日或牛頓插值公式，它們繞開了構造與求逆 V，同時利用了同樣的相異性保證。